Question

在直角坐標系xOy中，點P到兩點（

2

，0），（-

2

，0）的距離之和等于4，設點P的軌跡為C，直線y=kx+1與C交與A，B兩點．
（1）求點P的軌跡C的方程；
（2）線段AB的長是3，求實數(shù)k；
（3）若點A在第四象限，判斷|

OA

|與|

OB

|的大小，并證明．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：平面向量及應用,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設P（x，y），由橢圓定義可知點P的軌跡C是以（

2

，0），（-

2

，0）為焦點，長半軸為2的橢圓，由隱含條件求得b則曲線C的方程可求；
（2）聯(lián)立

y=kx+1 x2 4 + y2 2 =1

，化為關于x的一元二次方程后由弦長公式求得k的值；
（3）由點A在第四象限，及直線過定點求得k的范圍，然后把|

OA

|2-|

OB

|2轉化為含有k的代數(shù)式判斷符號得答案．

解答： 解：（1）設P（x，y），由橢圓定義可知，
點P的軌跡C是以（

2

，0），（-

2

，0）為焦點，長半軸為2的橢圓，
∴b=

a2-c2

=

22-( 2 )2

=

2

，
故曲線C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1；
（2）聯(lián)立

y=kx+1 x2 4 + y2 2 =1

，得（1+2k²）x²+4kx-2=0，
△=16k²-4（1+2k²）（-2）=32k²+8＞0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-

4k

1+2k2

，x₁x₂=-

2

1+2k2

，
∴|AB|=

1+k2

•

(- 4k 1+2k2 )2+ 8 1+2k2

=3，
解得：k=±

2

2

；
（3）若點A在第四象限，
∵直線y=kx+1過定點（0，1），且橢圓左頂點為（-2，0），
∴k＞

1

2

，
則|

OA

|2-|

OB

|2=x12+y12-x22-y22
=x12-x22+2(1-

x12

4

-1+

x22

4

)
=

1

2

(x12-x22)=

1

2

(x1-x2)(x1+x2)
=

1

2

(x1-x2)(-

4k

1+2k2

)，
∵k＞

1

2

，x₁-x₂＜0
∴

1

2

(x1-x2)(-

4k

1+2k2

)＞0，
即|

OA

|＞|

OB

|．

點評：本題考查了橢圓方程的求法，考查了弦長公式的應用，考查了向量的模，是中檔題．