Question

8．已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，且對任意x∈R，都有f（x-1）=f（x+3）．當x∈[4，5]時，f（x）=2^x+1，設函數f（x）在區間[-2，0]上的反函數為f^-1（x），則f^-1（19）的值為（　　）

• A． -log₂3
• B． -2log₂3
• C． 1-log₂3
• D． 3-2log₂3

Answer 1

分析 由f（x-1）=f（x+3）可確定函數周期，進而由條件當x∈[4，5]時，f（x）=2^x+1推導x∈[0，1]時f（x）解析式，并利用偶函數條件求出函數f（x）在區間[-1，0]上的解析式，并令x∈[-1，0]時f（x）=19，解出自變量x的值即為f^-1（19）的值．

解答 解：由f（x-1）=f（x+3）得f（x）=f（x+4），
所以函數周期為T=4，
所以x∈[0，1]時，x+4∈[4，5]，所以f（x）=f（x+4）=2^x+4+1，
又函數f（x）為偶函數，所以x∈[-1，0]時-x∈[0，1]，則f（x）=f（-x）=2^-x+4+1，
令f（x）=2^-x+4+1=19，解得
x=4-log₂18=3-2log₂3，
從而f^-1（19）=3-2log₂3
故選擇D．

點評 本題主要考查函數的周期性和奇偶性，利用函數周期性和奇偶性，求函數解析式，并結合反函數知識考查了對數函數值的計算問題，難度較大．