Question

15．已知函數f（x）=e^x-ln（x+m）．
（1）若x=0是f（x）的極值點，求m，并討論f（x）的單調性；
（2）當m=2時，證明f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）求出導函數，根據極值點的定義求出m值，根據導函數判斷函數的單調性；
（2）利用導函數求出函數的最小值，判斷最小值與零的關系即可．

解答 解：（1）f（x）=e^x-ln（x+m），
f'（x）=e^x-$\frac{1}{x+m}$，
∵x=0是f（x）的極值點，
∴f'（0）=0，得m=1；
當x在（-1，0）時，f'（x）＜0，f（x）遞減，
當x在（0，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）遞增；
（2）當m=2時，
f'（x）=e^x-$\frac{1}{x+2}$，
∵f'（-1）＜0，f'（0）＞0，
故f′（x）=0在（-2，+∞）上有唯一實數根x₀，且x₀∈（-1，0）．
當x∈（-2，x₀）時，f′（x）＜0，
當x∈（x₀，+∞）時，f′（x）＞0，
從而當x=x₀時，f（x）取得最小值f（x₀），
f（x₀）=${e}^{{x}_{0}}$-ln（x₀+2）
=$\frac{（{x}_{0}+1）^{2}}{{x}_{0}+2}$＞0，
∴f（x）＞0．

點評 考查了極值點的定義和導函數的應用．難點是對（2）中極值點的判斷．