Question

7．設函數f（x）=x³+ax²-ax+m（a∈R，m∈R）．
（Ⅰ）若函數f（x）在[-2，0]上是減函數，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）若對任意的a∈[3，6]，不等式f（x）≤0在x∈[-2，0]恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導函數，問題轉化為恒成立問題，利用二次函數的性質解決問題；
（Ⅱ）根據導函數，把恒成立問題轉化為最值問題求解．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）f'（x）=3x²+2ax-a…（1分）
依題意，得f'（x）=3x²+2ax-a≤0在[-2，0]上恒成立
∴f'（-2）=12-5a≤0，f'（0）=-a≤0，解得$a≥\frac{12}{5}$，
∴a的取值范圍是[$\frac{12}{5}$，+∞）；…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當a∈[3，6]時，f（x）在[-2，0]上是減函數
所以當x∈[-2，0]時，f（x）_max=f（-2）=-8+6a+m原命題等價于-8+6a+m≤0對?a∈[3，6]恒成立…（9分
∵g（a）=6a+m-8在[3，6]上遞增，g（a）_max=g（6）=28+m
∴28+m≤0，m≤-28
所以m的取值范圍是（-∞，-28]…（12分）

點評 考查了導函數的應用和恒成立問題的轉化．屬于常規題型，應熟練掌握．