Question

20．命題p：函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（4a-3）x+3a，x＜0}\\{lo{g}_{a}（x+1）+1，x≥0}\end{array}$（a＞0，且a≠1）在R上為單調遞減函數，命題q：?x∈[0，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$]，x²-a≤0恒成立．
（1）求命題q真時a的取值范圍；
（2）若命題p∧q為假，p∨q為真，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若命題q為真命題，則a≥x²，x∈[0，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$]，恒成立，即a≥x²_max；
（2）若命題p∧q為假，p∨q為真，命題p，q一真一假，進而可得滿足條件的a的取值范圍．

解答 解：（1）若命題q為真命題，
則a≥x²，x∈[0，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$]，恒成立，
即a≥x²_max，即$a≥\frac{1}{2}$；
（2）若函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（4a-3）x+3a，x＜0}\\{lo{g}_{a}（x+1）+1，x≥0}\end{array}$（a＞0，
且a≠1）在R上為單調遞減函數，
則$\left\{\begin{array}{l}0＜a＜1\\ 4a-3≤0\\ 3a≥1\end{array}\right.$，解得：$\frac{1}{3}$≤a≤$\frac{3}{4}$；
若命題p∧q為假，p∨q為真，
則命題p，q一真一假，
當p真q假時，a＜$\frac{1}{2}$且$\frac{1}{3}$≤a≤$\frac{3}{4}$，解得：$\frac{1}{3}≤a＜\frac{1}{2}$；
當p假q真時，a≤0，或a≥1，且$a≥\frac{1}{2}$，解得：$a＞\frac{3}{4}$；
綜上可得：$\frac{1}{3}≤a＜\frac{1}{2}$或$a＞\frac{3}{4}$．

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合命題，分段函數，函數恒成立等知識點，難度中檔．