Question

9．已知二次函數f（x）的圖象過點（0，4），對任意x滿足f（2-x）=f（x），且有最小值為1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在區間[3a，a+1]上不單調，求實數a的取值范圍；
（3）在區間[-1，3]上，y=f（x）的圖象恒在y=2x+2m+1的圖象上方，試確定實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設出二次函數解析式，利用待定系數法求解．
（2）利用二次函數的對稱軸，討論即可．
（3）求出f（x），y=2x+2m+1在[-1，3]上的值域，圖象恒在y=2x+2m+1的圖象上方，分離后轉化為一個函數求最值，即可求解m的范圍．

解答 解：（1）由題意：圖象過點（0，4），設二次函數解析式，f（x）=ax²+bx+4（a≠0）
對任意x滿足f（2-x）=f（x），則有：對稱軸x=$\frac{2-x+x}{2}=1$=$-\frac{b}{2a}$
∵最小值為1，∴a＞0
當x=1時，f（x）取得最小值1；
所以：$\left\{\begin{array}{l}{-b=2a}\\{a+b+4=1}\end{array}\right.$
解得：a=3，b=-6．
所以：f（x）的解析式為f（x）=3x²-6x+4．
（2）由（1）可知f（x）=3x²-6x+4．
對稱軸x=1，開口向上，
f（x）在區間[3a，a+1]上不單調；
則有：$\left\{\begin{array}{l}{a+1＞1}\\{3a＜1}\\{3a＜a+1}\end{array}\right.$
解得：$0＜a＜\frac{1}{3}$
所以實數a的取值范圍（0，$\frac{1}{3}$）．
（3）當x在區間[-1，3]上，y=f（x）的圖象恒在y=2x+2m+1的圖象上方，即3x²-6x+4＞2x+2m+1；
化簡得：$\frac{3}{2}{x}^{2}-4x+\frac{3}{2}＞m$．
∵x∈[-1，3]，
∴$（\frac{3}{2}{x}^{2}-4x+\frac{3}{2}）_{min}=-\frac{7}{6}$
故得實數m的取值范圍（-∞，$-\frac{7}{6}$）．

點評 本題考查了二次函數的解析式求法和最值問題．考查了恒成立問題轉化為不等式求解．屬于中檔題．