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12.已知定義在[-1,1]上的函數f(x)的圖象關于原點對稱,且函數f(x)在[-1,1]上為減函數.
(1)證明:當x1+x2≠0時,$\frac{f({x}_{1})+f({x}_{2})}{{x}_{1}+{x}_{2}}$<0;
(2)若f(m2-1)+f(m-1)>0,求實數m的取值范圍.

分析 (1)結合已知中函數的單調性,分x1+x2>0時和x1+x2<0時兩種情況討論,可證得當x1+x2≠0時,$\frac{f({x}_{1})+f({x}_{2})}{{x}_{1}+{x}_{2}}$<0;
(2)若f(m2-1)+f(m-1)>0,則f(m2-1)>f(1-m),則-1≤m2-1<1-m≤1,解得答案.

解答 證明:(1)∵定義在[-1,1]上的函數f(x)的圖象關于原點對稱,且函數f(x)在[-1,1]上為減函數.
當x1+x2>0時,x1>-x2,f(x1)<f(-x2)=-f(x2),即f(x1)+f(x2)<0,
此時$\frac{f({x}_{1})+f({x}_{2})}{{x}_{1}+{x}_{2}}$<0;
當x1+x2<0時,x1<-x2,f(x1)>f(-x2)=-f(x2),即f(x1)+f(x2)>0,
此時$\frac{f({x}_{1})+f({x}_{2})}{{x}_{1}+{x}_{2}}$<0;
綜上可得:當x1+x2≠0時,$\frac{f({x}_{1})+f({x}_{2})}{{x}_{1}+{x}_{2}}$<0;
解:(2)若f(m2-1)+f(m-1)>0,
則f(m2-1)>-f(m-1)=f(1-m),
故-1≤m2-1<1-m≤1,
解得:m∈(-2,1),
∴實數m的取值范圍為 (-2,1).

點評 本題考查的知識點是函數的單調性的應用,函數及其應用,分類討論思想,轉化思想,難度中檔.

練習冊系列答案
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(Ⅰ)證明:f(x)在區間[-1,1]上是單調減函數;
(Ⅱ)解不等式f(x+$\frac{1}{2}}$)<f(${\frac{1}{x-1}}$);
(Ⅲ)若f(x)≤t2-mt-1對所有x∈[-1,1],m∈[0,1]恒成立,求實數t的取值范圍.

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