Question

1．已知a，t為正實數，函數f（x）=x²-2x+a，且對任意的x∈[0，t]都有f（x）∈[-a，a]．若對每一個正實數a，記t的最大值為g（a），則$g（1）+g（\frac{3}{8}）$=$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 根據函數的特征，要對t進行分類討論，求出t的最大值，再根據a是正實數，求出g（a）的解析式，即可得到所求和．

解答 解：∵f（x）=x²-2x+a∴函數f（x）的圖象開口向上，對稱軸為x=1，
①0＜t≤1時，f（x）在[0，t]上為減函數，f（x）_max=f（0）=a，f（x）_min=f（t）=t²-2t+a
∵對任意的x∈[0，t]，都有f（x）∈[-a，a]．
∴-a=t²-2t+a，解得t=1-$\sqrt{1-2a}$（1+$\sqrt{1-2a}$舍去）
②t＞1時，f（x）在[0，1]上為減函數，在[1，t]上為增函數，
則f（x）_min=f（1）=a-1=-a，
f（x）_max=max{f（0），f（t）}=max{a，t²-2t+a}=a，
∴a=$\frac{1}{2}$，且t²-2t+a≤a，即1＜t≤2，
∵t的最大值為g（a）
∴綜上，g（a）=2或1-$\sqrt{1-2a}$
則$g（1）+g（\frac{3}{8}）$=2+1-$\sqrt{1-\frac{3}{4}}$=$\frac{5}{2}$．
故答案為：$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查求二次函數的最值問題，注意運用分類討論的思想方法，屬于中檔題．