Question

4．設$\overrightarrow a•\overrightarrow b=4\sqrt{3}$，若$\overrightarrow a$在$\overrightarrow b$方向上投影為$2\sqrt{3}$，$\overrightarrow b$在$\overrightarrow a$方向上的投影為$\sqrt{3}$，則$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 運用向量的投影定義，可得|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=2，再由cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$，計算即可得到所求夾角．

解答 解：$\overrightarrow a•\overrightarrow b=4\sqrt{3}$，
若$\overrightarrow a$在$\overrightarrow b$方向上投影為$2\sqrt{3}$，$\overrightarrow b$在$\overrightarrow a$方向上的投影為$\sqrt{3}$，
可得$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=2$\sqrt{3}$，$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|}$=$\sqrt{3}$，
即有|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=2，
則cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{4\sqrt{3}}{4×2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由0≤＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞≤π，
可得$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為$\frac{π}{6}$．
故答案為：$\frac{π}{6}$．

點評 本題考查向量的夾角的求法，注意運用向量的投影概念和向量數量積的夾角公式，考查運算能力，屬于基礎題．