Question

4．已知0＜θ＜π，且sinθ+cosθ=-$\frac{1}{5}$，求tanθ的值．

Answer 1

分析 由0＜θ＜π，且sinθ+cosθ=-$\frac{1}{5}$①，判斷θ∈（$\frac{π}{2}$，π），即cosθ＜0，利用同角三角函數的基本關系sin²θ+cos²θ=1②，聯立①②，求得sinθ和cosθ的值，可得tanθ的值．

解答 解：由0＜θ＜π，且sinθ+cosθ=-$\frac{1}{5}$①，說明sinθ和cosθ中至少有一個是負數，
如果θ∈（0，$\frac{π}{2}$），sinθ＞0而且cosθ＞0，可得sinθ+cosθ＞0，與題意不符，舍去，
因此θ∈（$\frac{π}{2}$，π），即θ是第二象限角，∴cosθ＜0，
由sin²θ+cos²θ=1②，
聯立①②，可得：$（-\frac{1}{5}-cosθ）^{2}+co{s}^{2}θ=1$，化簡整理得25cos²θ+5cosθ-12=0，
解得：$cosθ=\frac{3}{5}$（舍去）或$cosθ=-\frac{4}{5}$，
∴$sinθ=\sqrt{1-co{s}^{2}θ}=\frac{3}{5}$．
∴tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}=-\frac{3}{4}$．

點評 本題主要考查同角三角函數的基本關系，以及三角函數在各個象限中的符號，屬于基礎題．