Question

6．?x₁∈（1，2），?x₂∈（1，2）使得lnx₁=x₁+$\frac{1}{3}m{x_2}^3-m{x_2}$，則正實數m的取值范圍是（　　）

• A． $（{3-\frac{3}{2}ln2，+∞}）$
• B． $[{3-\frac{3}{2}ln2，+∞}）$
• C． [3-3ln2，+∞）
• D． （3-3ln2，+∞）

Answer 1

分析 由題意得到lnx₁-x₁=$\frac{1}{3}$m${{x}_{2}}^{3}$-mx₂，設h（x）=lnx-x在（1，2）上的值域為A，
函數g（x）=$\frac{1}{3}$mx³-mx在（1，2）上的值域為B，根據函數的單調性求m的取值范圍．

解答 解：由題意，得lnx₁-x₁=$\frac{1}{3}m{x_2}^3-m{x_2}$，
設h（x）=lnx-x在（1，2）上的值域為A，函數g（x）=$\frac{1}{3}$mx³-mx在（1，2）上的值域為B，
當x∈（1，2）時，h′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$＜0，函數h（x）在（1，2）上單調遞減，
故h（x）∈（ln2-2，-1），∴A=（ln2-2，-1）；
又g'（x）=mx²-m=m（x+1）（x-1），
m＞0時，g（x）在（1，2）上單調遞增，
此時g（x）的值域為B=（-$\frac{2m}{3}$，$\frac{2m}{3}$），
由題意A⊆B，且$\frac{2}{3}$m＞0＞-1，∴-$\frac{2m}{3}$≤ln2-2，
解得m≥-$\frac{3}{2}$（ln2-2）=3-$\frac{3}{2}$ln2；
∴正實數m的取值范圍是[3-$\frac{3}{2}$ln2，+∞）．
故選：B．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，也考查了導數的應用問題，是中檔題．