Question

4．如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=$\frac{π}{3}$，AD=4，AM=2，E是AB的中點
（1）求證：平面MDE⊥平面NDC
（2）求三棱錐N-MDC的體積．

Answer 1

分析 （1）推導出DE⊥CD，ND⊥AD，從而ND⊥DE，進而DE⊥平面NDC，由此能證明平面MAE⊥平面NDC．
（2）由V_N-MDC=V_M-NDC=V_E-NDC，能求出三棱錐N-MDC的體積．

解答 證明：（1）∵ABCD是菱形，∴AD=AB，
∵∠DAB=$\frac{π}{3}$，∴△ABD為等邊三角形，
E為AB中點，∴DE⊥AB，∴DE⊥CD，
∵ADMN是矩形，∴ND⊥AD，
又平面ADMN⊥平面ABCD，平面ADMN∩平面ABCD=AD，
∴ND⊥平面ABCD，∴ND⊥DE，
∵CD∩ND=D，∴DE⊥平面NDC，
∵DE?平面MDE，∴平面MAE⊥平面NDC．
解：（2）∵MA∥ND，∴MA∥平面NDC，∴ME∥平面NDC，
∴平面MAE⊥平面NDC，∴ME∥平面NDC，
∴V_N-MDC=V_M-NDC=V_E-NDC，
由（1）知DE⊥AB，∠DAE=$\frac{π}{3}$，
∵DA=4，AE=2，∴DE=2$\sqrt{3}$，
∴三棱錐N-MDC的體積V_N-MDC=V_M-NDC=V_E-NDC=$\frac{1}{3}{S}_{△NDC}•DE$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．