Question

14．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{2}x|，0＜x＜2}\\{sin\frac{πx}{4}，2≤x≤10}\end{array}\right.$，若存在實數x₁，x₂，x₃，x₄，滿足x₁＜x₂＜x₃＜x₄，且f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄），則$\frac{（{x}_{3}-2）（{x}_{4}-2）}{{x}_{1}{x}_{2}}$的取值范圍是（0，12）．

Answer 1

分析 做出f（x）的函數圖象，求出x₁，x₂，x₃，x₄的范圍，根據對數函數的性質得出x₁x₂=1，利用三角函數的對稱性得出x₃+x₄=12，代入式子化簡得出關于x₃的二次函數，根據x₃的范圍和二次函數的性質求出值域即可．

解答 解：作出函數f（x）的圖象如圖所示：

因為存在實數x₁，x₂，x₃，x₄，滿足x₁＜x₂＜x₃＜x₄，且f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄），
∴$\frac{1}{2}$＜x₁＜1，1＜x₂＜2，2＜x₃＜4，8＜x₄＜10，
∵-log₂x₁=log₂x₂，∴log₂$\frac{1}{{x}_{1}}$=log₂x₂，∴x₁x₂=1，
∵y=sin$\frac{πx}{4}$關于直線x=6對稱，∴x₃+x₄=12，
∴$\frac{（{x}_{3}-2）（{x}_{4}-2）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₃-2）（x₄-2）=（x₃-2）（12-x₃-2）=-x₃²+12x₃-20=-（x₃-6）²+16，
令g（x₃）=-（x₃-6）²+16，則g（x₃）在（2，4）上是增函數，
∵g（2）=0，g（4）=12，
∴0＜g（x₃）＜12．
故答案為（0，12）．

點評 本題考查了分段函數圖象的圖象，對數函數，三角函數，二次函數的性質，屬于中檔題．