Question

1．已知橢圓的焦點在x軸上，橢圓上橫坐標等于焦點橫坐標的點，它到x軸的距離等于短半軸長的$\frac{2}{3}$，求橢圓的離心率．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓的方程，由題意，求得M坐標，利用勾股定理，及橢圓的定義，代入求得a和b的關(guān)系，利用橢圓的離心率公式即可求得橢圓的離心率．

解答 解：設(shè)橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，（a＞b＞0），焦點坐標為（±c，0），
設(shè)M（x，y）在橢圓上，則P到x軸的距離等于短半軸長的$\frac{2}{3}$，
即x=c，y=$\frac{2}{3}$b，
Rt△MF₁F₂中，F(xiàn)₁F₂⊥MF₂，
∴丨F₁F₂丨²+丨MF₂丨²=丨MF₁丨²，即4c²+$\frac{4}{9}$=丨MF₁丨²，
根據(jù)橢圓的定義得：丨MF₁丨+丨MF₂丨=2a，
可得丨MF₁丨²=（2a-丨MF₂丨）²=（2a-$\frac{2}{3}$b）²，
∴（2a-$\frac{2}{3}$b）²=4c²+$\frac{4}{9}$b²，整理得4c²-4a²+$\frac{8}{3}$ab=0，
可得3（a²-c²）=2ab，
則3b²=2ab，則b=$\frac{2}{3}$a，
由題意的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
橢圓的離心率$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質(zhì)，橢圓的定義，考查計算能力，屬于中檔題．