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12.如圖,已知拋物線y2=4x的焦點為F,直線l過F且依次交拋物線及圓${(x-1)^2}+{y^2}=\frac{1}{4}$于點A,B,C,D四點,則4|AB|+9|CD|的最小值為$\frac{37}{2}$.

分析 求出|AB|=xA+$\frac{1}{2}$,|CD|=xD+$\frac{1}{2}$,分類討論,利用基本不等式,求出4|AB|+9|CD|的最小值.

解答 解:∵y2=4x,焦點F(1,0),準線 l0:x=-1
由定義得:|AF|=xA+1,
又∵|AF|=|AB|+$\frac{1}{2}$,∴|AB|=xA+$\frac{1}{2}$
同理:|CD|=xD+$\frac{1}{2}$,
當l⊥x軸時,則xD=xA=1,∴4|AB|+9|CD|=$\frac{39}{2}$;
當l:y=k(x-1)時,代入拋物線方程,得:k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
∴xAxD=1,xA+xD=1,
∴4|AB|+9|CD|=$\frac{13}{2}$+4xA+9xD≥$\frac{37}{2}$
綜上所述4|AB|+9|CD|的最小值為$\frac{37}{2}$.
故答案為:$\frac{37}{2}$.

點評 本題考查圓與拋物線的綜合,考查基本不等式的運用,考查學生的計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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3.已知函數f(x)=x+sinx(x∈R),當$θ∈({\frac{π}{4},\frac{π}{2}})$時,f(asinθ)+f(1-a)>0恒成立,則實數a的取值范圍是(  )
A.$({0,\frac{{2-\sqrt{2}}}{2}})$B.$({2-\sqrt{2},1})$C.$({1,2+\sqrt{2}}]$D.$({-∞,2+\sqrt{2}}]$

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20.下列四組函數中,表示同一個函數的是(  )
A.f(x)=|x+1|,g(x)=$\left\{\begin{array}{l}{x+1(x≥-1)}\\{-1-x(x<-1)}\end{array}\right.$B.f(x)=$\frac{{x}^{2}-1}{x+1}$,g(x)=x-1
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17.若點(1,-3)在圓(x-2)2+(y+1)2=m的內部,則實數m的取值范圍是(  )
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1.設變量x,y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤3}\\{x-y≥-1}\\{y≥1}\end{array}\right.$,則目標函數z=4x+2y的最大值為(  )
A.12B.10C.8D.2

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2.$\frac{{tan{{18}°}+tan{{42}°}+tan{{120}°}}}{{tan{{198}°}tan{{222}°}}}$=(  )
A.$-\sqrt{3}$B.$\sqrt{3}$C.$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$D.$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

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