Question

14．某校高二年級共1000人，從參加期末數學考試的學生中抽出20名學生，將其成績（均為整數）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]，然后畫出如圖所示頻率分布直方圖，但是缺失了第四組[70，80）的信息．觀察圖形的信息，回答下列問題．
（1）求第四組[70，80）的頻率；并估計該年級分數在該段的人數．
（2）估計該年級這次數學考試的平均數．
（3）在樣本中，從成績是[50，60）和[60，70）的兩段學生中任意選兩人，求他們在同一分數段的概率．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖中小矩形的面積和為1，能求出第四組[70，80）的頻率，從而能估計該年級分數在該段的人數．
（2）由頻率分布直方圖能估計該年級這次數學考試的平均數．
（3）在樣本中，成績在[50，60）的有3人，成績在[60，70）的有3人，從中任取兩人，基本事件總數n=${C}_{6}^{2}$=15，他們在同一分數段包含的基本事件個數m=${C}_{3}^{2}+{C}_{3}^{2}$=6，由此能求出他們在同一分數段的概率．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖得第四組[70，80）的頻率為：
1-（0.01+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=0.3．
估計該年級分數在該段的人數為：0.3×1000=300（人）．
（2）估計該年級這次數學考試的平均數為：
45×0.01×10+55×0.015×10+65×0.015×10+75×0.3+85×0.025×10+95×0.005×10=71（分）．
（3）在樣本中，成績在[50，60）的有0.015×10×20=3人，
成績在[60，70）的有0.015×10×20=3人，
從中任取兩人，基本事件總數n=${C}_{6}^{2}$=15，
他們在同一分數段包含的基本事件個數m=${C}_{3}^{2}+{C}_{3}^{2}$=6，
∴他們在同一分數段的概率p=$\frac{m}{n}$=$\frac{6}{15}$=$\frac{2}{5}$．

點評 本題考查頻率分布直方圖的應用，考查概率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意分布直方圖的性質的合理運用．