Question

9．已知點A的坐標為（1，0），P為半圓C：$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}$（θ為參數，0≤θ≤π）上的點，弧$\widehat{AP}$的長度為$\frac{π}{3}$，O為坐標原點．
（1）以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求直線AP的極坐標方程；
（2）若M為半圓C上的動點，用半圓C的參數方程求點M到直線AP距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出直線AP的直角坐標方程，即可求直線AP的極坐標方程；
（2）設M（cosθ，sinθ）（0≤θ≤π），求出點到直線的距離，即可得到最大值．

解答 解：（1）由題意，P（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴直線AP的方程為y=-$\sqrt{3}$（x-1），極坐標方程為$\sqrt{3}$ρcosθ+ρsinθ-$\sqrt{3}$=0；
（2）設M（cosθ，sinθ）（0≤θ≤π），
M到直線AP距離d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ+sinθ-\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{|2sin（θ+\frac{π}{3}）-\sqrt{3}|}{2}$，
∴θ=π時，點M到直線AP距離的最大值為$\sqrt{3}$．

點評 本題考查直線的極坐標方程，考查參數方程的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．