Question

13．在△ABC中，A＞B，則下列不等式正確的個數為（　　）
①sinA＞sinB ②cosA＜cosB ③sin2A＞sin2B ④cos2A＜cos2B．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 利用三角形內角和定理和正弦定理以及二倍角公式化簡可判斷．

解答 解：在△ABC中，0＜A＜π，0＜B＜，π，且0＜B+A＜π，
由①，A＞B，則a＞b，利用正弦定理可得 a=2rsinA，b=2rsinB，故sinA＞sinB．故①對
由②，因為△ABC中，利用余弦函數在（0，π）遞減，可得A＞B，則cosA＜cosB，故②對．
 對于③，例如A=60°，B=45°，滿足A＞B，但不滿足sin2A＞sin2B，所以③不對；
對于④，因為在銳角△ABC中，A＞B，所以a＞b，利用正弦定理可得 a=2rsinA，b=2rsinB，故sinA＞sinB，所以利用二倍角公式即 1-2sin² A＜1-2sin² B，∴cos2A＜cos2B，故④對．
正確的是：①②④
故選D

點評 本題主要考查了三角函數的單調性和正弦定理的運用能力．屬于中檔題．