Question

18．已知a＞0，集合A={x|ax²-2x+2a-1=0}，B={y|y=log₂（x+$\frac{a}{x}$-4）}，p：A=∅，q：B=R．
（1）若p∧q為真，求a的最大值；
（2）若p∧q為為假，p∨q為真，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 先求出命題p，q為真時，a的取值范圍；
（1）若p∧q為真，則求兩個范圍的交集即可；
（2）若p∧q為為假，p∨q為真，分類求出a的范圍，綜合可得答案．

解答 解：當a＞0時，
若命題p：A=∅為真，
則$\left\{\begin{array}{l}a≠0\\△=4-4a（2a-1）＜0\end{array}\right.$，解得：a∈（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（1，+∞），
∴a∈（1，+∞），
若命題q：B=R為真．
則2$\sqrt{a}$-4≤0，
解得：a∈（0，4]
（1）若p∧q為真，則a∈（1，4]，
故a的最大值為4；
（2）若p∧q為為假，p∨q為真，
則p，q一真一假，
若p真q假，則a∈（4，+∞），
若p假q真，則a∈（0，1]，
綜上可得：a∈（0，1]∪（4，+∞）

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合命題，二次方程根的個數，對數函數的圖象和性質，難度中檔．