Question

12．在區間[1，5]上任取一個數記為m，在區間[1，4]上任取一個數記為n．
（1）若m，n∈N^*，求方程$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{n}$=1表示焦點在x軸上的橢圓的概率；
（2）若m，n∈R，求方程$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{n}$=1表示焦點在x軸上的橢圓的概率．

Answer 1

分析 （1）m=1，2，3，4，5，n=1，2，3，4，基本事件總數N=5×4=20，方程$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{n}$=1表示焦點在x軸上的橢圓，從而m＞n，由此利用列舉法能求出方程$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{n}$=1表示焦點在x軸上的橢圓的概率．
（2）D：$\left\{\begin{array}{l}{1≤m≤5}\\{1≤n≤4}\end{array}\right.$，方程$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{n}$=1表示焦點在x軸上的橢圓，（m，n）滿足d：$\left\{\begin{array}{l}{1≤m≤5}\\{1≤n≤4}\\{m＞n}\end{array}\right.$，由此利用幾何概型能求出方程$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{n}$=1表示焦點在x軸上的橢圓的概率．

解答 解：（1）∵在區間[1，5]上任取一個數記為m，在區間[1，4]上任取一個數記為n，
m，n∈N^*，∴m=1，2，3，4，5，n=1，2，3，4，
∴基本事件總數N=5×4=20，
∵方程$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{n}$=1表示焦點在x軸上的橢圓，
∴m＞n，滿足條件的基本事件（m，n）有10個，分別是：
（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），
∴方程$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{n}$=1表示焦點在x軸上的橢圓的概率p₁=$\frac{10}{20}$=$\frac{1}{2}$．
（2）∵在區間[1，5]上任取一個數記為m，在區間[1，4]上任取一個數記為n，m，n∈R，
∴D：$\left\{\begin{array}{l}{1≤m≤5}\\{1≤n≤4}\end{array}\right.$，
∵方程$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{n}$=1表示焦點在x軸上的橢圓，
∴（m，n）滿足d：$\left\{\begin{array}{l}{1≤m≤5}\\{1≤n≤4}\\{m＞n}\end{array}\right.$，
∴方程$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{n}$=1表示焦點在x軸上的橢圓的概率：
p₂=$\frac{d的面積}{D的面積}$=$\frac{4×3-\frac{1}{2}×{3}^{2}}{4×3}$=$\frac{5}{8}$．

點評 本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意列舉法和幾何概型的合理運用．