Question

（本小題滿分12分）二次函數滿足，且最小值是．

（1）求的解析式；

（2）實數，函數，若在區間上單調遞減，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）根據條件可設，配方可得，再由的最小值是，從而，即有，；（2），

從而，因此存在兩個極值點或，再由條件在區間上單調遞減，因此需對和的大小關系進行分類討論，即可得到關于的不等式組， 當，即時，由，得， ∴的減區間是，又∵在區間上單調遞減，∴（滿足），當，即時，由，得，

∴的減區間是，又∵在區間上單調遞減，∴（滿足），即實數的取值范圍為．

試題解析：（1）由二次函數滿足，設， 2分

則，又∵的最小值是，故，解得，

∴； 6分 ；

（2）， 7分

∴，由，得或，又∵，故， 8分 當，即時，由，得，

∴的減區間是，又∵在區間上單調遞減，

∴（滿足）， 10分

當，即時，由，得，

∴的減區間是，又∵在區間上單調遞減，

∴（滿足），綜上所述得，或，

∴實數的取值范圍為． 12分 ．

考點：1．二次函數的解析式；2．導數的運用．