Question

11．已知圓O和圓C的極坐標方程分別為ρ=2和ρ=4sinθ，點P為圓O上任意一點．
（1）若射線OP交圓C于點Q，且其方程為θ=$\frac{π}{3}$，求|PQ|得長；
（2）已知D（2，$\frac{3}{2}$π），若圓O和圓C的交點為A，B，求證：|PA|²+|PB|²+|PD|²為定值．

Answer 1

分析 （1）θ=$\frac{π}{3}$代入ρ=4sinθ，可得ρ=2$\sqrt{3}$，即可求出|PQ|；
（2）求出A，B，D的直角坐標，利用兩點間的距離公式，即可得出結論．

解答 （1）解：θ=$\frac{π}{3}$代入ρ=4sinθ，可得ρ=2$\sqrt{3}$，
∴|PQ|=2$\sqrt{3}$-2；
（2）證明：由題意，A（-$\sqrt{3}$，1），B（$\sqrt{3}$，1），D（0，-2），
設P（x，y），則|PA|²+|PB|²+|PD|²=（x+$\sqrt{3}$）²+（y-1）²+（x-$\sqrt{3}$）²+（y-1）²+x²+（y+2）²=3（x²+y²）+12=24，為定值．

點評 本題考查極坐標方程，考查兩點間的距離公式，比較基礎．