Question

5．已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n²=（2a_n+1）a_n+1（n∈N^*）．
（1）求a₂、a₃的值；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）求證：$\sum_{i=1}^n{\frac{{8{a_i}}}{{1+{a_i}}}}$＜7．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關系，取n=1，2即可得出．
（2）a_n²=（2a_n+1）a_n+1（n∈N^*），兩邊取倒數可得：$1+\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$（1+\frac{1}{{a}_{n}}）^{2}$，取對數利用等比數列的通項公式即可得出．
（3）由（2）得$\frac{a_n}{{{a_n}+1}}={（{\frac{1}{2}}）^{{2^{n-1}}}}$，利用二項式定理進行放縮，再利用函數的單調性與數列的單調性即可得出．

解答 （1）解：由已知得${a_{n+1}}=\frac{a_n^2}{{2{a_n}+1}}，{a_2}=\frac{a_1^2}{{2{a_1}+1}}=\frac{1}{3}$，${a_3}=\frac{a_2^2}{{2{a_2}+1}}=\frac{1}{15}$．
（2）解：由已知得a_n＞0，∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2{a}_{n}+1}{{a}_{n}^{2}}$=$（1+\frac{1}{{a}_{n}}）^{2}$-1，∴$1+\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$（1+\frac{1}{{a}_{n}}）^{2}$，
取對數可得：$lg（{1+\frac{1}{{{a_{n+1}}}}}）=lg{（{1+\frac{1}{a_n}}）^2}=2lg（{1+\frac{1}{a_n}}）$，
數列$\left\{{lg（{1+\frac{1}{a_n}}）}\right\}$是首項為$lg（{1+\frac{1}{a_1}}）=lg2$，公比為2的等比數列，
因此$lg（{1+\frac{1}{a_n}}）={2^{n-1}}lg2=lg{2^{{2^{n-1}}}}，1+\frac{1}{a_n}={2^{{2^{n-1}}}}，{a_n}=\frac{1}{{{2^{{2^{n-1}}}}-1}}$．
（3）證明：由（2）得$\frac{a_n}{{{a_n}+1}}={（{\frac{1}{2}}）^{{2^{n-1}}}}$，
因此$\sum_{i=1}^n{\frac{a_i}{{1+{a_i}}}=\frac{a_1}{{1+{a_1}}}+\frac{a_2}{{1+{a_2}}}+…+\frac{a_n}{{1+{a_n}}}=\frac{1}{2}+{{（{\frac{1}{2}}）}^2}}+（{\frac{1}{2}}）{2^2}+…+{（{\frac{1}{2}}）^{{2^{n-1}}}}$，
由于${2^{n-1}}=1+C_{n-1}^1+C_{n-1}^2+…+C_{n-1}^{n-1}$，當n≥4時，${2^{n-1}}=1+C_{n-1}^1+C_{n-1}^2+…+C_{n-1}^{n-1}＞n+1$，
當n≥4時，${（{\frac{1}{2}}）^{{2^{n-1}}}}＜{（{\frac{1}{2}}）^{n+1}}$，$\sum_{i=1}^n{\frac{a_i}{{1+{a_i}}}}＜\frac{1}{2}+{（{\frac{1}{2}}）^2}+{（{\frac{1}{2}}）^{2^2}}+[{{{（{\frac{1}{2}}）}^5}+{{（{\frac{1}{2}}）}^6}+…+{{（{\frac{1}{2}}）}^{n+1}}}]$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{{{{（{\frac{1}{2}}）}^5}[{1-{{（{\frac{1}{2}}）}^{n-3}}}]}}{{1-\frac{1}{2}}}=\frac{7}{8}-{（{\frac{1}{2}}）^{n+1}}＜\frac{7}{8}$，所以$\sum_{i=1}^n{\frac{{8{a_i}}}{{1+{a_i}}}＜7}$．
不難驗證當n=1，2，3時，不等式$\sum_{i=1}^n{\frac{{8{a_i}}}{{1+{a_i}}}＜7}$也成立，
綜上所述，$\sum_{i=1}^n{\frac{{8{a_i}}}{{1+{a_i}}}＜7}$．

點評 本題考查了數列遞推關系、等比數列的通項公式與求和公式、二項式定理、函數的單調性與數列的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．