Question

如圖，已知梯形ABCD中|AB|＝2|CD|，點E滿足＝λ，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點．當≤λ≤時，求雙曲線離心率e的取值范圍．

Answer 1

[，]．

如題圖，以直線AB為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系xOy，則CD⊥y軸．因為雙曲線經過點C、D，且以A、B為焦點，由雙曲線的對稱性知C、D關于y軸對稱．根據已知，設A(－c，0)，C，E(x₀，y₀)，其中c＝|AB|為雙曲線的半焦距，h是梯形的高．由＝λ，即(x₀＋c，y₀)＝λ，得.不妨設雙曲線的方程為＝1，則離心率e＝.由點C、E在雙曲線上，將點C、E的坐標和e＝代入雙曲線的方程得
由①式得－1，③
將③式代入②式，整理得(4－4λ)＝1＋2λ，所以λ＝1－.由已知≤λ≤，所以≤1－≤，解之得≤e≤，所以雙曲線的離心率的取值范圍為[，]．