Question

18．已知cos（π+α）•$cos（\frac{π}{2}+α）$=$\frac{60}{169}$，且$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{π}{2}$，求sin α與cos α的值．

Answer 1

分析 由已知利用誘導公式可求2sin α•cos α=$\frac{120}{169}$，結合同角三角函數基本關系式可求：（sin α+cos α）²=$\frac{289}{169}$，（sin α-cos α）²=$\frac{49}{169}$，結合α的范圍可求sin α+cos α＞0，sin α-cos α＞0，可求sin α+cos α=$\frac{17}{13}$，sin α-cos α=$\frac{7}{13}$，聯立即可得解．

解答 解：cos（π+α）=-cos α，$cos（\frac{π}{2}+α）$=-sin α．
∴sin α•cos α=$\frac{60}{169}$，即2sin α•cos α=$\frac{120}{169}$．①
又∵sin²α+cos²α=1，②
①+②得（sin α+cos α）²=$\frac{289}{169}$，
②-①得（sin α-cos α）²=$\frac{49}{169}$，
又∵$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{π}{2}$，
∴sin α＞cos α＞0，
即sin α+cos α＞0，sin α-cos α＞0，
∴sin α+cos α=$\frac{17}{13}$，③
sin α-cos α=$\frac{7}{13}$，④
③+④得sin α=$\frac{12}{13}$，③-④得cos α=$\frac{5}{13}$．

點評 本題主要考查了誘導公式，同角三角函數基本關系式，三角函數的圖象和性質在三角函數化簡求值中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．