Question

9．已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象與y軸交于點（0，1），它在y軸右側的得一個最高點和最低點的坐標分別為（x₀，2）、（x₀+3π，-2）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）將y=f（x）圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的$\frac{1}{3}$（縱坐標不變），然后將所得圖象按向右平移$\frac{π}{3}$，得到函數y=g（x）的圖象，寫出函數y=g（x）的解析式，并用列表作圖的方法畫出y=g（x）在長度為一個周期的閉區間上的簡圖．

Answer 1

分析 （1）由題意，得出A、ω與φ的值，再寫出函數f（x）的解析式；
（2）根據函數圖象平移法則，得出函數y=g（x）的解析式，
再用列表作圖法畫出y=g（x）在長度為一個周期的閉區間上的簡圖即可．

解答 解：（1）由題意可得，A=2，$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$=3π，
解得ω=$\frac{1}{3}$；
再把點（0，1）代入函數的解析式可得：
2sin（$\frac{1}{3}$×0+φ）=1，即 sinφ=$\frac{1}{2}$；
再結合|φ|＜$\frac{π}{2}$，可得φ=$\frac{π}{6}$，
故此函數的解析式為f（x）=2sin（$\frac{1}{3}$x+$\frac{π}{6}$）；
（2）將y=f（x）圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的$\frac{1}{3}$（縱坐標不變），
得函數y=2sin（x+$\frac{π}{6}$）；
然后將所得圖象向右平移$\frac{π}{3}$，得y=2sin（x-$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{6}$）=2sin（x-$\frac{π}{6}$）的圖象；
所以函數y=g（x）=2sin（x-$\frac{π}{6}$）；
用列表作圖的方法畫出y=g（x）=2sin（x-$\frac{π}{6}$）在長度為一個周期的閉區間上的簡圖如下：

x-$\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{6}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{7π}{6}$	$\frac{5π}{3}$	$\frac{13π}{6}$
y=2sin（x-$\frac{π}{6}$）	0	2	0	-2	0

函數y=g（x）對應的圖象為：

點評 本題主要考查三角函數y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質的應用問題的作圖，也考查了作圖問題，是基礎題目．