Question

19．已知函數f（x）=e^x．
（1）求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）證明：f（x）＞lnx+2，在（0，+∞）上恒成立．

Answer 1

分析 （1）求導數，可得切線的斜率，即可求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）設g（x）=e^x-lnx-2，則$g'（x）={e^x}-\frac{1}{x}$，求出函數的最小值，即可證明：f（x）＞lnx+2，在（0，+∞）上恒成立．

解答 解：（1）依題意，f'（x）=e^x，故f'（1）=e，故所求切線方程為y-e=e（x-1），即y=ex．
（2）設g（x）=e^x-lnx-2，則$g'（x）={e^x}-\frac{1}{x}$，
設$h（x）={e^x}-\frac{1}{x}$，則$h'（x）={e^x}+\frac{1}{x^2}＞0$，所以函數$h（x）=g'（x）={e^x}-\frac{1}{x}$在（0，+∞）上單調遞增．
因為$g'（{\frac{1}{2}}）={e^{\frac{1}{2}}}-2＜0，g'（1）=e-1＞0$，
所以函數$g'（x）={e^x}-\frac{1}{x}$在（0，+∞）上有唯一零點x₀，且${x_0}∈（{\frac{1}{2}，1}）$．
因為g'（x₀）=0時，所以${e^{x_0}}=\frac{1}{x_0}$，即lnx₀=-x₀．
當x∈（0，x₀）時，g'（x）＜0；當x∈（x₀，+∞）時，g'（x）＞0．
所以當x=x₀時，g（x）取得最小值g（x₀）．
故$g（x）≥g（{x_0}）={e^{x_0}}-ln{x_0}-2=\frac{1}{x_0}+{x_0}-2＞0$．
綜上可知，不等式f（x）＞lnx+2在（0，+∞）上恒成立．

點評 本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查不等式的證明，屬于中檔題．