Question

設函數f（x）=（x²+2）lnx，g（x）=2x²+ax，a∈R
（1）證明：f（x）是（0，+∞）上的增函數；
（2）設F（x）=f（x）-g（x），當x∈[1，+∞）時，F（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（1）證明f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，通過構造h(x)=2lnx+

2

x2

+1，x∈(0，+∞)，求出函數的導數兩條函數的最小值大于0，即可證明f（x）是（0，+∞）上的增函數．------（6分）
（2）化簡F（x）=f（x）-g（x）=（x²+2）lnx-2x²-ax≥0，轉化為：a在一側的不等式，構造函數G(x)=

(x2+2)lnx-2x2

x

．通過導數判斷函數的單調性求出最小值，即可求解a的范圍．

解答： 解：（1）若證明f（x）是（0，+∞）上的增函數，只需證明f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，
即：f′(x)=2xlnx+

2

x

+x≥0?x(2lnx+

2

x2

+1)≥0?2lnx+

2

x2

+1≥0-------（4分）
設h(x)=2lnx+

2

x2

+1，x∈(0，+∞)，h′(x)=

2

x

-

4

x3

=

2x2-4

x3

所以：h（x）在(0，

2

)上遞減，(

2

，+∞)上遞增，h（x）最小值h(

2

)=ln2+2＞0
故：f′(x)=2xlnx+

2

x

+x=xh(x)＞0，所以：f（x）是（0，+∞）上的增函數．------（6分）
（2）由F（x）=f（x）-g（x）=（x²+2）lnx-2x²-ax≥0得：
a≤

(x2+2)lnx-2x2

x

在x∈[1，+∞）上恒成立，------------（8分）
設G(x)=

(x2+2)lnx-2x2

x

則G′(x)=

(x2-2)(lnx-1)

x2

，
所以g（x）在(1，

2

)遞增，(

2

，e)遞減，（e，+∞）遞增------------（9分）
所以G（x）的最小值為G（1），G（e）中較小的，G(e)-G(1)=

2

e

-e+2＞0，
所以：G（e）＞G（1），即：G（x）在x∈[1，+∞）的最小值為G（1）=-2，--------（11分）
只需a≤-2-------（12分）

點評：本題考查函數的導數的綜合應用，構造法求解函數的最值的應用，考查分析問題與解決問題的能力，難度比較大，考查轉化思想的應用．