Question

在極坐標系內，已知曲線C₁的方程為ρ²-2ρ（cosθ-2sinθ）+4=0，以極點為原點，極軸方向為x正半軸方向，利用相同單位長度建立平面直角坐標系，曲線C₂的參數方程為

5x=1-4t 5y=18+3t

（t為參數）．設點P為曲線C₂上的動點，過點P作曲線C₁的兩條切線，則這兩條切線所成角余弦的最小值是

 

．

Answer 1

考點：參數方程化成普通方程,簡單曲線的極坐標方程

專題：計算題,直線與圓,坐標系和參數方程

分析：運用代入法化簡可得曲線C₂的普通方程，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，可化簡曲線C₁的方程，求出圓心到直線的距離，設兩條切線所成角為2α，考慮當P為圓心到直線的垂線的垂足時，兩條切線所成角最大．求出sinα，再由二倍角的余弦公式，即可得到．

解答： 解：曲線C₁的直角坐標方程為：x²+y²-2x+4y+4=0，即（x-1）²+（y+2）²=1，
圓心為（1，-2），半徑為1．
曲線C₂的普通方程為：3x+4y-15=0，
圓心到直線的距離為：d=

|3-8-15|

9+16

=4．
設兩條切線所成角為2α，
當P為圓心到直線的垂線的垂足時，兩條切線所成角最大．
則sinα=

1

4

，
則這兩條切線所成角余弦的最小值是cos2α=1-2sin²α
=1-2×（

1

4

）²=

7

8

．
故答案為：

7

8

．

點評：本題考查參數方程、極坐標方程和普通方程的互化，考查直線和圓相切的條件，考查點到直線的距離公式和二倍角的余弦公式，屬于中檔題．