Question

函數f（x）=e^x-e²x+a，
（1）求f（x）的單調區間；
（2）若f（x）=0有兩個不同解，求a的范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究函數的極值

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）對f（x）求導，令f′（x）＞0，解不等式即可，
（2）由圖象連續，且函數在R上先減后增，可知若函數圖象與x軸兩個交點，則最小值小于0即可．

解答： 解：（1）f′（x）=e^x-e²，
由f′（x）＞0得x＞2，由f′（x）＜0得x＜2，
∴f（x）的減區間是（-∞，2），增區間是（2，+∞），
（2）由（1）知f（x）的極小值是f（2）=a-e²，
函數在R上先減后增，圖象連續，若f（x）=0有兩個不同解，則f（2）＜0即可
即a-e²＜0，
解得a＜e²．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性、函數在閉區間上的最值，考查函數恒成立問題，轉化為函數最值是解決恒成立問題的常用方法，導數是解決函數問題的強有力的工具．