Question

9．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax，x∈R
（1）若a=2，求曲線f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，求函數(shù)f（x）在[0，a]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=2時(shí)，寫出f（x），求出f（x）在x=0處的斜率，利用點(diǎn)斜式直接寫出切線方程即可；
（2）首先求出導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)x=lna，構(gòu)造函數(shù)M（a）=a-lna，證明M（a）在（1，+∞）上恒大于0，從而分類討論判斷函數(shù)單調(diào)性，求其最小值．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=e^x-2x，f（0）=1，f'（x）=e^x-2．
即有f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線斜率為f'（0）=-1．
即有f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y-1=-（x-0），即x+y-1=0；
（2）由于f（x）=e^x-ax，f'（x）=e^x-a．
令f'（x）=0，解得x=lna＞0．
當(dāng)a＞1，令M（a）=a-lna，M'（a）=1-$\frac{1}{a}$=$\frac{a-1}{a}$＞0；
M（a）在（1，+∞）遞增，又M（1）=1-ln1=1，則M（a）=1-lna＞0；
即有a＞1，a＞lna．
當(dāng)0≤x≤lna時(shí)，f'（x）＜0，f（x）遞減；
當(dāng)lna≤x＜a時(shí)，f'（x）＞0，f（x）遞增；
即在x=lna處f（x）取得最小值；
∴f（x）_min=e^lna-alna=a-alna．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)與切線斜率之間的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值問題，屬中等題．