Question

19．如圖，AC是圓O的直徑，點 B在圓 O上，∠B AC=30°，B M⊥AC交 AC于點 M，E A⊥平面 A BC，FC∥E A，AC=4，E A=3，FC=1．
（1）證明：E M⊥BF；  
（2）求三棱錐 E-BMF的體積．

Answer 1

分析 （1）由EA⊥平面ABC，可得EA⊥BM，又BM⊥AC，由線面垂直的判定得BM⊥平面ACFE，則BM⊥EM．再由AC是圓O的直徑得∠ABC=90°．然后求解直角三角形可得EM⊥MF．從而得到EM⊥平面MBF，則有EM⊥BF；
（2）由（1）可知BM⊥平面MFE，且$BM=\sqrt{3}$，而V_E-BMF=V_B-MEF，利用等積法求得三棱錐 E-BMF的體積．

解答 （1）證明：∵EA⊥平面ABC，BM?平面ABC，∴EA⊥BM．
又∵BM⊥AC，EA∩AC=A，∴BM⊥平面ACFE，
而EM?平面ACFE，∴BM⊥EM．
∵AC是圓O的直徑，∴∠ABC=90°．
又∵∠BAC=30°，AC=4，∴$AB=2\sqrt{3}$，BC=2，AM=3，CM=1．
∵EA⊥平面ABC，FC∥EA，FC=1，∴FC⊥平面ABCD．
∴△EAM與△FCM都是等腰直角三角形．
∴∠EMA=∠FMC=45°，則∠EMF=90°，即EM⊥MF．
∵MF∩BM=M，∴EM⊥平面MBF，
而BF?平面MBF，∴EM⊥BF；
（2）解：由（1）可知BM⊥平面MFE，且$BM=\sqrt{3}$，而V_E-BMF=V_B-MEF，
又由（1）可知，AE=AM=3，∴∠AME=45°，FC=CM=1，
∴∠CMF=45°，則∠EMF=90°，
則$ME=3\sqrt{2}$，$MF=\sqrt{2}$，
∴${S_{△MEF}}=\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×\sqrt{2}=3$，
∴${V_{E-BMF}}=\frac{1}{3}×3×\sqrt{3}=\sqrt{3}$．

點評 本題考查空間中直線與直線的位置關系，考查了線面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．