Question

10．已知拋物線C：y²=2px（p＞0），直線l與拋物線交于兩點A、B，若OA⊥OB．
（Ⅰ）求證：直線l過定點；
（Ⅱ）若p=2時，求弦AB的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設直線l：x=my+n，代入拋物線方程，由韋達定理y₁y₂=-2pn，代入${x_1}{x_2}=\frac{{{{（{y_1}{y_2}）}^2}}}{{4{p^2}}}={n^2}$，由$\overrightarrow{OA}=（{x_1}，{y_1}）$，$\overrightarrow{OB}=（{x_2}，{y_2}）$，由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，x₁x₂+y₁y₂=0，即可得到n=2p，代入x=my+2p，因此直線l過定點（2p，0）；
（Ⅱ）p=2時，求得直線l的方程，代入拋物線方程，由韋達定理求得y₁+y₂=4m，y₁y₂=-16，由弦長公式可得：丨AB丨=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•丨y₁-y₂丨=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=4$\sqrt{{m}^{4}+5{m}^{2}+4}$，由函數的單調性可知：m=0時，|AB|_min=8．

解答 解：（Ⅰ）證明：設直線l：x=my+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=my+n}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，可得y²-2pmy-2pn=0，
∴△=4p²m²+8pn＞0，
由韋達定理可得：y₁y₂=-2pn，
∴${x_1}{x_2}=\frac{{{{（{y_1}{y_2}）}^2}}}{{4{p^2}}}={n^2}$，
又$\overrightarrow{OA}=（{x_1}，{y_1}）$，$\overrightarrow{OB}=（{x_2}，{y_2}）$
∴OA⊥OB，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴n²-2pn=0，
又∵n≠0，
∴n=2p，
∴x=my+2p，
直線l過定點（2p，0），滿足△＞0；
（Ⅱ）p=2時，y²=4x，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=mx+4}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理可得：y²-4my-16=0，
y₁+y₂=4m，y₁y₂=-16，
則$\begin{array}{l}|AB|=\sqrt{1+{m^2}}|{y_1}-{y_2}|=\sqrt{1+{m^2}}\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}\\=\sqrt{1+{m^2}}•\sqrt{16{m^2}+64}=4\sqrt{（1+{m^2}）（{m^2}+4）}=4\sqrt{{m^4}+5{m^2}+4}\end{array}$，
∵m⁴≥0，m²≥0，
∴m=0時，|AB|_min=8．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理，向量數量積的坐標表示，向量垂直的充要條件及弦長公式，考查計算能力，屬于中檔題．