Question

20．已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時f（x）=$\frac{1}{2}$（|x-a|+|x-2a|-3a），若?x∈R，f（x-1）≤f（x），則正數a的取值范圍為（　　）

• A． （0，$\frac{1}{36}$]
• B． （0，$\frac{1}{9}$]
• C． （0，$\frac{1}{6}$]
• D． （0，$\frac{1}{3}$]

Answer 1

分析 把x≥0時，將f（x）改寫成分段函數，求出其最小值，由函數的奇偶性可得x＜0時的函數的最大值，由對?x∈R，都有f（x-1）≤f（x），可得2a-（-4a）≤1，求解正數a的取值范圍．

解答 解：當x≥0時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-3a}&{x＞2a}\\{-a}&{a＜x＜2a}\\{-x}&{0≤x≤a}\end{array}\right.$，
由f（x）=x-3a，x＞2a，得f（x）＞-a；
當a＜x≤2a時，f（x）=-a；
由f（x）=-x，0≤x≤a，得f（x）≥-a．
∴當x＞0時，f（x）_min=-a．
∵函數f（x）為奇函數，
∴當x＜0時，f（x）_max=a．
∵對?x∈R，都有f（x-1）≤f（x），
∴2a-（-4a）≤1，解得：a＜$\frac{1}{6}$，
∴實數a的取值范圍是（0，$\frac{1}{6}$]．
故選：C．

點評 本題考查了函數奇偶性、周期性，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．