Question

20．已知函數f（x）=ax²+bx-lnx（a，b∈R）．
（Ⅰ）當a=8，b=-6，求f（x）的零點的個數；
（Ⅱ）設a＞0，且x=1是f（x）的極小值點，試比較lna與-2b的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，得到函數的極小值小于0，從而判斷出函數的零點個數；
（Ⅱ）求出b1-2a，作差lna-（-2b）=lna+2-4a，根據函數的單調性求出g（a）的最大值，從而判斷出lna和-2b的大小即可．

解答 解：（Ⅰ）∵a=8，b=-6，
${f^'}（x）=\frac{（2x-1）（8x+1）}{x}（x＞0）$
當$0＜x＜\frac{1}{2}$時，f′（x）＜0，
當$x＞\frac{1}{2}$時，f′（x）＞0，
故f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）遞減，在（$\frac{1}{2}$，+∞）遞增，
故f（x）的極小值是f（$\frac{1}{2}$），
又∵$f（\frac{1}{2}）=-1+ln2＜0$，
∴f（x）有兩個零點；
（Ⅱ） 依題有f′（1）=0，
∴2a+b=1即b=1-2a，
∴lna-（-2b）=lna+2-4a，
令g（a）=lna+2-4a，（a＞0）
則g′（a）=$\frac{1}{a}$-4=$\frac{1-4a}{a}$，
當0＜a＜$\frac{1}{4}$時，g′（a）＞0，g（a）單調遞增；
當a＞$\frac{1}{4}$時，g′（a）＜0，g（a）單調遞減．
因此g（a）＜g（$\frac{1}{4}$）=1-ln4＜0，
故lna＜-2b．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及轉化思想，是一道中檔題．