Question

12．與雙曲線$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$共漸近線且過點$（2\sqrt{3}，-3）$的雙曲線方程$\frac{y^2}{{\frac{9}{4}}}-\frac{x^2}{4}=1$．

Answer 1

分析 依題意，設雙曲線的方程為9x²-16y²=λ，將點$（2\sqrt{3}，-3）$，代入可求λ，即可求出雙曲線的方程．

解答 解：設與雙曲線$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$有共同的漸近線的雙曲線的方程為9x²-16y²=λ，
∵該雙曲線經過點$（2\sqrt{3}，-3）$，
∴λ=9×12-16×9=-36．
∴所求的雙曲線方程為：9x²-16y²=-36，即$\frac{y^2}{{\frac{9}{4}}}-\frac{x^2}{4}=1$
故答案為：$\frac{y^2}{{\frac{9}{4}}}-\frac{x^2}{4}=1$．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質，設出所求雙曲線的方程為9x²-16y²=λ是關鍵，屬于中檔題．