Question

已知f（x）是定義在R上的增函數，函數y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，若對任意的x，y∈R，等式f（y-3）+f（

4x-x2-3

）=0恒成立，則

y

x

的取值范圍是（　　）

• A、[2-

  2

  3

  3

  ，2+

  2

  3

  3

  ]
• B、[1，2+

  2

  3

  3

  ]
• C、[2-

  2

  3

  3

  ，3]
• D、[1，3]

Answer 1

考點：函數單調性的性質

專題：計算題,數形結合,函數的性質及應用,直線與圓

分析：由平移規律，可得y=f（x）的圖象關于原點對稱，則f（x）為奇函數，即有f（-x）=-f（x），結合函數的單調性等式可化為y-3=-

4x-x2-3

，平方即可得到y為以（2，3）為圓心，1為半徑的下半圓，再由直線的斜率公式，

y

x

=

y-0

x-0

可看作是半圓上的點與原點的連線的斜率，通過圖象觀察，過O的直線OA，OB的斜率即為最值，求出它們即可．

解答： 解：函數y=f（x）的圖象可由y=f（x-1）的圖象向左平移1個單位得到，
由于y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，
則y=f（x）的圖象關于原點對稱，
則f（x）為奇函數，即有f（-x）=-f（x），
則等式f（y-3）+f（

4x-x2-3

）=0恒成立即為
f（y-3）=-f（

4x-x2-3

）=f（-

4x-x2-3

），
又f（x）是定義在R上的增函數，則有y-3=-

4x-x2-3

，
兩邊平方可得，（x-2）²+（y-3）²=1，
即有y=3-

4x-x2-3

為以（2，3）為圓心，1為半徑的下半圓，
則

y

x

=

y-0

x-0

可看作是半圓上的點與原點的連線的斜率，
如圖，k_OA=

3-0

1-0

=3，取得最大，過O作切線OB，設OB：y=kx，
則由d=r得，

|2k-3|

1+k2

=1，解得，k=2±

2 3

3

，
由于切點在下半圓，則取k=2-

2 3

3

，即為最小值．
則

y

x

的取值范圍是[2-

2 3

3

，3]．
故選C．

點評：本題考查函數的單調性和奇偶性的運用，考查直線的斜率和直線和圓的位置關系，考查數形結合的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．