Question

已知圓C的圓心在坐標原點，且與直線l₁：x-y-2

2

=0相切．
（1）求圓C的方程；
（2）求直線l₂：4x-3y+5=0被圓C所截得的弦AB的長；
（3）過點G（1，3）作兩條與圓C相切的直線，切點分別為M，N，求直線MN的方程．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：計算題,直線與圓

分析：（1）設出圓的方程，由直線和圓相切的條件，求得半徑，即可得到圓的方程；
（2）求出圓心到直線的距離，運用直線和圓相交的弦長公式，即可得到；
（3）判斷出C，M，N，G四點共圓，求出圓的方程，再與圓C方程相減，即可得到相交弦方程．

解答： 解：（1）設圓的方程為：x²+y²=r²，
由于圓C與直線l₁：x-y-2

2

=0相切，
則d=

|2 2 |

2

=2=r，
則有圓C：x²+y²=4；
（2）圓心到直線l₂：4x-3y+5=0的距離為d=

|5|

16+9

=1，
則被圓C所截得的弦AB的長為2

4-1

=2

3

；
（3）過點G（1，3）作兩條與圓C相切的直線，切點分別為M，N，
由CM⊥MG，CN⊥NG，則四點C，M，G，N共圓，且以PC為直徑，
則方程為（x-

1

2

）²+（y-

3

2

）²=（

10

2

）²，①
又圓C：x²+y²=4，②
由于MN為兩圓的公共弦，
則①-②，可得，x+3y-4=0．
則直線MN的方程為：x+3y-4=0．

點評：本題考查圓的方程的求法，考查直線和圓的位置關系，考查弦長公式和相交弦方程的求法，考查運算能力，屬于中檔題．