Question

4．已知M、N是焦點為F的拋物線y²=4x上兩個不同點，且線段MN的中點A的橫坐標是3，直線MN與x軸交于點B，則點B的橫坐標的取值范圍是（　　）

• A． （-3，3]
• B． （-∞，3]
• C． （-6，-3]
• D． （-6，3）

Answer 1

分析 設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（3，y₀）．設直線MN的方程為：my=x+t，與拋物線方程聯立化為：y²-4my+4t=0，△＞0，即t＜m²．利用根與系數的關系、中點坐標公式可得y₀=2m．可得3+t=2m²，可得x_B=-t=-2m²+3，即可得出．

解答 解：設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（3，y₀）．
設直線MN的方程為：my=x+t，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{my=x+t}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化為：y²-4my+4t=0，
△=16m²-16t＞0，即t＜m²．
y₁+y₂=4m，∴y₀=2m．
∴3+t=2m²，
∴x_B=-t=-2m²+3≤3，
又t＜m²，可得-2m²+3＞-m²，解得m²＜3，
∴x_B=-t=-2m²+3＞-3，
∴x_B=-2m²+3∈（-3，3]．
故選：A．

點評 本本題考查了拋物線的標準方程及其性質、直線與拋物線相交問題、中點坐標公式、一元二次方程的根與系數的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．