Question

（本小題滿分13分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的離心率為，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦AB與CD．當(dāng)直線AB斜率為0時(shí)，．

（1）求橢圓的方程；

（2）求由A，B，C，D四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）利用已知離心率和直線AB斜率為0時(shí)，，可求得a，b，c的值，從而得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）因?yàn)锳B⊥CD，故，將AB和CD所在直線方程分別與橢圓方程聯(lián)立，用斜率表示出|AB|和|CD|，然后利用函數(shù)思想，結(jié)合均值不等式可求得S的范圍.

試題解析：（1）由題意知，，則，

且AB斜率為0時(shí)，，

所以．所以橢圓的方程為． 4分

（2）① 當(dāng)兩條弦中一條斜率為0時(shí)，另一條弦的斜率不存在，

由題意知； 5分

②當(dāng)兩弦斜率均存在且不為0時(shí)，設(shè)，，

且設(shè)直線的方程為，

則直線的方程為．

將直線的方程代入橢圓方程中，并整理得，

所以． 8分

同理，． 9分

所以

，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào) 11分

∴

綜合①與②可知， 13分

考點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓位置關(guān)系，弦長(zhǎng)公式，基本不等式.