Question

11．已知△ABC的三邊長分別為AB=5，BC=4，AC=3，M是AB邊上的點，P是平面ABC外一點．給出下列四個命題：
①若PM⊥平面ABC，且M是AB邊中點，則有PA=PB=PC；
②若PC=5，PC⊥平面ABC，則△PCM面積的最小值為$\frac{15}{2}$；
③若PB=5，PB⊥平面ABC，則三棱錐P-ABC的外接球體積為$\frac{{125\sqrt{2}}}{6}π$；
④若PC=5，P在平面ABC上的射影是△ABC內切圓的圓心，則三棱錐P-ABC的體積為$2\sqrt{23}$；
其中正確命題的序號是①④（把你認為正確命題的序號都填上）．

Answer 1

分析 運用三棱錐的棱長的關系，求解線段，面積，體積，把三棱錐鑲嵌在長方體中，求解外接圓的半徑，

解答 解：對于①，∵△ABC的三邊長分別為AB=5，BC=4，AC=3，
∴PM丄平面ABC，且M是AB邊中點，∴MA=MB=MC
∴Rt△PMA≌Rt△PMB≌Rt△PMC，∴PA=PB=PC，∴①正確，
對于②，∵當PC⊥面ABC，∴△PCM面積=$\frac{1}{2}$×PC×CM=$\frac{1}{2}$×5×CM
又因為CM作為垂線段最短=$\frac{12}{5}$，△PCM面積的最小值為$\frac{1}{2}×5×\frac{12}{5}$=6，∴②不正確．
對于③，∵若PB=5，PB⊥平面ABC，AB=5，BC=4，AC=3，
∴三棱錐P-ABC的外接球可以看做3，4，5為棱長的長方體，∴2R=5$\sqrt{2}$，∴體積為$\frac{125\sqrt{2}}{3}π$，故③不正確．
對于④，∵△ABC的外接圓的圓心為O，PO⊥面ABC，∵P²=PO²+OC²，r=$\frac{3+4-5}{2}$=1，
OC=$\sqrt{2}$，PO²=25-2=23，PO=$\sqrt{23}$，
$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$××3×4×$\sqrt{23}$=2$\sqrt{23}$，故④正確
故答案為：①④

點評 本題考查了空間直線，幾何體的性質，位置關系，求解面積，夾角問題，屬于難題．