Question

16．以直角坐標系的原點為極點，x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，并在兩種坐標系中取相同的長度單位，已知直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=5-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=-\sqrt{3}+\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t為參數），圓C的極坐標方程為$ρ=4cos（θ-\frac{π}{3}）$
（I）求直線l和圓C的直角坐標方程；
（Ⅱ）若點P（x，y）在圓C上，求$\sqrt{3}x-y$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線l的參數方程消去參數t，能求出直線l的直角坐標方程；圓C的極坐標方程轉化為${ρ}^{2}=2ρcosθ+2\sqrt{3}ρsinθ$，由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出圓C的直角坐標方程．
（Ⅱ）設P（1+2cosθ，$\sqrt{3}+2sinθ$），則$\sqrt{3}x-y$=$\sqrt{3}+2\sqrt{3}cosθ-\sqrt{3}-2sinθ$=4sin（θ+$\frac{2π}{3}$），由此能求出$\sqrt{3}x-y$的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=5-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=-\sqrt{3}+\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t為參數），
∴消去參數t，得直線l的直角坐標方程為x+$\sqrt{3}y$-2=0，
∵圓C的極坐標方程為$ρ=4cos（θ-\frac{π}{3}）$，
∴${ρ}^{2}=2ρcosθ+2\sqrt{3}ρsinθ$，
∵ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，
∴圓C的直角坐標方程為（x-1）²+（y-$\sqrt{3}$）²=4．
（Ⅱ）∵點P（x，y）在圓C上，
∴設P（1+2cosθ，$\sqrt{3}+2sinθ$），
∴$\sqrt{3}x-y$=$\sqrt{3}+2\sqrt{3}cosθ-\sqrt{3}-2sinθ$=4sin（θ+$\frac{2π}{3}$），
∴$\sqrt{3}x-y$的取值范圍是[-4，4]．

點評 本題考查直線和圓直角坐標方程的求法，考查代數式的取值范圍的求法，考查極坐標方程、直角坐標方程、參數方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．