Question

2．下列正確命題有③④．
①“$sinθ=\frac{1}{2}$”是“θ=30^°”的充分不必要條件
②如果命題“（p或q）”為假命題，則p，q中至多有一個為真命題
③設a＞0，b＞1，若a+b=2，則$\frac{2}{a}+\frac{1}{b-1}$的最小值為$3+2\sqrt{2}$
④函數f（x）=3ax+1-2a在（-1，1）上存在x₀，使f（x₀）=0，則a的取值范圍a＜-1或$a＞\frac{1}{5}$．

Answer 1

分析 由特殊角的三角函數值和充分必要條件的定義，即可判斷①；
由復合命題的真值表，可得命題“p或q”為假命題，則p，q均為假命題，即可判斷②；
由a＞0，b-1＞0，可得$\frac{2}{a}+\frac{1}{b-1}$=（a+b-1）（$\frac{2}{a}+\frac{1}{b-1}$）展開后，運用基本不等式即可得到所求最小值，即可判斷③；
由函數的零點定理，可得f（-1）f（1）＜0，解不等式即可判斷④．

解答 解：①“$sinθ=\frac{1}{2}$”等價為“θ=k•360°+30°或k•360°+150°，k∈Z”，
則“$sinθ=\frac{1}{2}$”是“θ=30^°”的必要不充分條件，故①錯；
②如果命題“p或q”為假命題，則p，q均為假命題，故②錯；
③設a＞0，b＞1，若a+b=2，則$\frac{2}{a}+\frac{1}{b-1}$=（a+b-1）（$\frac{2}{a}+\frac{1}{b-1}$）
=2+1+$\frac{a}{b-1}$+$\frac{2（b-1）}{a}$≥3+2$\sqrt{\frac{a}{b-1}•\frac{2（b-1）}{a}}$=3+2$\sqrt{2}$，
當且僅當a=$\sqrt{2}$（b-1）時，取得最小值為$3+2\sqrt{2}$，故③對；
④函數f（x）=3ax+1-2a在（-1，1）上存在x₀，使f（x₀）=0，可得f（-1）f（1）＜0，
即為（-3a+1-2a）（3a+1-2a）＜0，解得a＜-1或$a＞\frac{1}{5}$．故④對．
故答案為：③④．

點評 本題考查命題的真假判斷，主要是充分必要條件的判斷、復合命題的真值表和基本不等式的運用，以及函數零點判定定理的應用，考查推理和運算能力，屬于中檔題．