Question

12．已知等比數列{a_n}的前n項和為S_n，若S₆=$\frac{21}{2}$，公比q=-$\frac{1}{2}$．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求和：a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²．

Answer 1

分析 （1）根據求和公式列方程解出a₁即可得出a_n；
（2）證明{a_n²}是等比數列，代入求和公式計算．

解答 解：（1）∵S₆=$\frac{21}{2}$，公比q=-$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{{a}_{1}（1-（-\frac{1}{2}）^{6}）}{1-（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{21}{2}$，解得a₁=16．
∴a_n=16•（-$\frac{1}{2}$）^n-1=（-1）^n-1•2^5-n．
（2）設b_n=a_n²，則$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{{{a}_{n+1}}^{2}}{{{a}_{n}}^{2}}$=（-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$．
∴{b_n}是以16²為首項，以$\frac{1}{4}$為公比的等比數列，
∴a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=$\frac{1{6}^{2}（1-\frac{1}{{4}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{{4}^{5}}{3}$（1-$\frac{1}{{4}^{n-1}}$）．

點評 本題考查了等比數列的判斷，求和公式和通項公式，屬于基礎題．