Question

14．已知函數f（x），g（x）滿足關系式f（x）=g（|x-1|）（x∈R）．若方程f（x）-cosπx=0恰有7個根，則7個根之和為（　　）

• A． 3
• B． 5
• C． 7
• D． 9

Answer 1

分析 函數y=g（|x|）是偶函數，y=g（|x-1|）是把y=g（|x|）向右平移1個單位得到的，可得y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱．再由x=1是f（x）=cosπx的一條對稱軸，可得y=f（x）的圖象與y=cosπx的圖象有3對交點關于直線x=1對稱，有1個交點為（1，1）．結合中點坐標公式得答案．

解答 解：函數y=g（|x|）是偶函數，其圖象關于直線x=0對稱，
而y=g（|x-1|）是把y=g（|x|）向右平移1個單位得到的，
∴y=g（|x-1|）的圖象關于直線x=1對稱．
即y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱．
方程f（x）-cosπx=0恰有7個根，即方程f（x）=cosπx恰有7個根，
也就是y=f（x）的圖象與y=cosπx的圖象有7個交點，
而x=1是f（x）=cosπx的一條對稱軸，
∴y=f（x）的圖象與y=cosπx的圖象有3對交點關于直線x=1對稱，有1個交點為（1，1）．
由中點坐標公式可得：y=f（x）的圖象與y=cosπx的圖象交點的橫坐標和為3×2+1=7．
故選：C．

點評 本題考查根的存在性及根的個數判斷，由y=g（|x-1|）得到函數y=f（x）圖象的對稱性是解題的關鍵，是中檔題．