Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，3），$\overrightarrow{b}$=（-2，-1）．
（1）求$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夾角θ；
（2）若$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$），求實數λ的值．

Answer 1

分析 （1）利用兩個向量的數量積的定義，兩個向量的數量積公式，求得$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夾角θ的余弦值，可得求$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夾角θ．
（2）根據兩個向量垂直的性質，求得實數λ的值．

解答 解：（1）由題意可得$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（-1，2），得$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（3，4），
∴cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-3+8}{\sqrt{5}•5}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．
（2）由題意根據若$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$+λ•$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=10+λ•（-2-3）=0，∴λ=2．

點評 本題主要考查兩個向量的數量積的定義，兩個向量的數量積公式的應用，兩個向量垂直的性質，屬于基礎題．