Question

16．等比數列{a_n}的首項為2，項數為奇數，其奇數項之和為$\frac{85}{32}$，偶數項之和為$\frac{21}{16}$，這個等比數列前n項的積為T_n（n≥2），則T_n的最大值為（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 設共有2m+1項，由題意可得奇數項之和以及偶數項之和，再根據等比數列的前n項和公式計算得答案．

解答 解：設共有2m+1項，由題意：
${S}_{奇}={a}_{1}+{a}_{3}+…+{a}_{2m+1}=\frac{85}{32}$，${S}_{偶}={a}_{2}+{a}_{4}+…+a2m=\frac{21}{16}$，
S_奇=a₁+a₂q+…+a_2mq=2+q（a₂+a₄+…+a_2m）=$2+\frac{21}{16}q=\frac{85}{32}$，
∴$q=\frac{1}{2}$．
∴T_n=${a}_{1}{•a}_{2}…{a}_{n}={{a}_{1}}^{n}{q}^{1+2+…+n-1}$=${2}^{n}×\frac{1}{{2}^{\frac{n（n-1）}{2}}}$=${2}^{\frac{3}{2}n-\frac{{n}^{2}}{2}}$，
當n=1或2時，T_n的最大值為2．
故選：D．

點評 本題考查了等比數列的前n項和公式，考查了求等比數列前n項的積，是中檔題．