Question

4．設函數f（x）=ln$\frac{{\sum_{i=1}^{n-1}{{i^x}+{n^x}a}}}{n}$，其中a∈R，對于任意的正整數n（n≥2），如果不等式f（x）＞（x-1）lnn在區間[1，+∞）上有解，則實數a的取值范圍為{a|a＞$\frac{1}{2}$}．

Answer 1

分析 根據題意，將原不等式等價變形為：（1-a）n^x＜1^x+2^x+3^x+…+（n-1）^x，再變量分離得到1-a＜（$\frac{1}{n}$）^x+（ $\frac{2}{n}$）^x+（$\frac{3}{n}$）^x+…+（$\frac{n-1}{n}$）^x，原不等式在區間[1，+∞）上有解，即1-a小于右邊的最大值．根據指數函數的單調性得到右邊的最大值，最后結合n≥2即可得到實數a的取值范圍．

解答 解：不等式f（x）＞（x-1）lnn，即
ln$\frac{{1}^{x}+{2}^{x}+…+（n-1）^{x}+{n}^{x}a}{n}$＞lnn^x-1，
∵對數的底e＞1，
∴原不等式可化為1^x+2^x+3^x+…+（n-1）^x+n^xa＞n^x，
移項得（1-a）n^x＜1^x+2^x+3^x+…+（n-1）^x，
因為n是正整數，所以兩邊都除以n^x，得：
1-a＜（$\frac{1}{n}$）^x+（ $\frac{2}{n}$）^x+（$\frac{3}{n}$）^x+…+（$\frac{n-1}{n}$）^x，…（*）
不等式f（x）＞（x-1）lnn在區間[1，+∞）上有解，
即（*）式的右邊的最大值大于1-a，
∵g（x）=（$\frac{1}{n}$）^x+（$\frac{2}{n}$）^x+（$\frac{3}{n}$）^x+…+（$\frac{n-1}{n}$）^x 在[1，+∞）上是一個減函數，
∴當x=1時，g（x）的最大值為$\frac{1}{n}$+$\frac{2}{n}$+$\frac{3}{n}$+…+$\frac{n-1}{n}$=$\frac{1}{n}$•$\frac{n（n-1）}{2}$=$\frac{n-1}{2}$，
因此1-a＜$\frac{n-1}{2}$，
得實數a的取值范圍是a＞1-$\frac{n-1}{2}$，結合n≥2得a＞$\frac{1}{2}$，
故答案為：{a|a＞$\frac{1}{2}$}．

點評 本題給出對數型函數，求一個不等式在區間上有解的參數a的取值范圍，著重考查了指數函數和對數函數的單調性，考查了學生對基本初等函數的掌握，屬于中檔題．