Question

10．已知函數f（x）=ax，g（x）=lnx+3．
（1）當a=1時，請用導數的定義求函數f（x）的導數；
（2）求函數g（x）在點（1，3）處的切線方程；
（3）若函數h（x）=f（x）-g（x）在x∈[e^-4，e]上的圖象與直線y=t（0≤t≤1）總有兩個不同交點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據導數的定義即可求出．
（2）求出函數在x=1處的導數，可得函數g（x）在點（1，3）處的切線方程；
（3）求出原函數的導函數，分a≤0和a＞0討論，當a＞0時由導函數在不同區間內的符號得到原函數的單調性，從而求出函數在區間[e^-4，e]上的最小值點，由最小值小于0，且區間端點處的函數值大于等于0聯立不等式組求解a的取值范圍．

解答 解：（1）當a=1時，f（x）=x，
△y=（x+△x）+x=△x，
∴$\frac{△y}{△x}$=1，
∴f′（x）=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{△y}{△x}$=1；
（2）∵g（x）=lnx+3，
∴g′（x）=$\frac{1}{x}$，
∴g′（1）=1，
∴函數g（x）在點（1，3）處的切線方程為y-3=x-1，即y=x+2；
（Ⅱ）h（x）=f（x）-g（x）=ax-lnx-3，
∴h′（x）=a-$\frac{1}{x}$
當a≤0時，在x∈[e^-4，e]上恒小于0，函數f（x）在[e^-4，e]上單調遞減，不滿足題意；
當a＞0時，由h′（x）＜0，得e^-4＜x＜$\frac{1}{a}$，函數h（x）遞減，
由h′（x）＞0，得$\frac{1}{a}$＜x＜e，函數h（x）遞增，
∴函數h（x）在x∈[e^-4，e]上的圖象與直線y=t（0≤t≤1）恒有兩個不同交點，
則需$\left\{\begin{array}{l}{h（\frac{1}{a}）＜0}\\{h（e）≥1}\\{h（{e}^{-4}）≥0}\end{array}\right.$．即$\left\{\begin{array}{l}{1+lna-3＜0}\\{ae-1-3≥1}\\{a{e}^{-4}+4-3≥0}\end{array}\right.$，
解得$\frac{5}{e}$≤a＜e²，
∴實數a的取值范圍是[$\frac{5}{e}$，e²）．

點評 本題考查了利用導數研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數求函數的最值，體現了數學轉化思想方法及分類討論的數學思想方法，是中檔題．