Question

8．我們通常把圓、橢圓、拋物線、雙曲線統稱為圓錐曲線．通過普通高中課程實驗教科書《數學》2-1第二章《圓錐曲線與方程》章頭引言我們知道，用一個垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，截口曲線（截面與圓錐側面的交線）是一個圓．實際上，設圓錐母線與軸所成角為α，不過圓錐頂點的截面與軸所成角為θ．當θ=$\frac{π}{2}$，截口曲線為圓，當$α＜θ＜\frac{π}{2}$時，截口曲線為橢圓；當0≤θ＜α時，截口曲線為雙曲線； 當θ=α時，截口曲線為拋物線；如圖2，正方體ABCD-A′B′C′D′中，M為BC邊的中點，點P在底面A′B′C′D′上運動并且使∠MAC′=∠PAC′，那么點P的軌跡是（　　）

• A． 一段雙曲線弧
• B． 一段橢圓弧
• C． 一段圓弧
• D． 一段拋物線弧

Answer 1

分析 以A點為坐標原點建立空間直角坐標系，可求得A，C′，M等點的坐標，從而可求得cos∠MAC′，設設AC′與底面A′B′C′D′所成的角為θ，繼而可求得cosθ，比較θ與∠MAC′的大小，利用正圓錐曲線被與中心軸成θ的平面所截曲線，即可得到答案．

解答 解：P點的軌跡實際是一個正圓錐面和兩個平面的交線；
這個正圓錐面的中心軸即為AC′，頂點為A，頂角的一半即為∠MAC′；
以A'點為坐標原點建立空間直角坐標系，則A（0，0，1），C′（1，1，0），M（$\frac{1}{2}$，1，1），
∴$\overrightarrow{AC′}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{1}{2}$，1，0），
∵cos∠MAC′=$\frac{1×\frac{1}{2}+1×1}{\sqrt{3}×\sqrt{\frac{1}{4}+1}}$=$\frac{\sqrt{135}}{15}$，
設AC′與底面A′B′C′D′所成的角為θ，則cosθ=$\frac{|A′C′|}{|AC′|}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{\sqrt{150}}{15}$＞$\frac{\sqrt{135}}{15}$，
∴θ＜∠MAC′，
∴該正圓錐面和底面A′B′C′D′的交線是雙曲線弧；
同理可知，P點在平面CDD′C′的交線是雙曲線弧，
故選A．

點評 本題考查正圓錐曲線被與中心軸成θ的平面所截曲線的軌跡，考查分析運算能力，屬于難題．